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| Una delle prime applicazioni delle proporzioni, misurare una piramide usando un semplice bastone (da Wikipedia) |
Pertiamo dalla definizione: "Una proporzione è l'eguaglianza di due rapporti", scrivendola più semplice si può dire "Una proporzione rappresenta due divisioni che danno lo stesso risultato". In pratica, se io scrivo
20 : 5 = 100 : 25 significa proprio che dividendo 20 per 5 ottengo 4, ed anche se divido 100 per 25 ottengo 4. Quindi una proporzione è valida solo se si verifica una uguaglianza nel risultato delle due divisioni che la compongono.
Può capitare che però uno dei termini della proporzione non è noto, in pratica ci serve un componente che consenta alla proporzione di "funzionare", cioè di rispettare la condizione di uguaglianza.
A tale scopo occorre dare un pò di definizioni, ne bastano solo due, ora osservate sotto:
30 : 3 = 20 : 2
1 2 3 4
La proporzione si legge così: "Trenta sta a tre come venti sta a due".
Ognuno dei termini della proporzione ha un numero, che ci consente di dare queste definizioni:
- chiamiamo "medi" i termini col numero 2 e 3, in quanto sono al centro della proporzione, vicino al segno di uguaglianza
- chiamiamo "estremi" gli altri due componenti, cioè i termini 1 e 4, posti appunto a margine della proporzione
Nel caso che uno dei termini non sia noto, quindi è segnato con una X, per trovare il suo valore corretto basta seguire questa procedura:
- Se la X è nella posizione 2 o in posizione 3 (cioè è un medio), il valore si trova moltiplicando tra loro gli estremi e poi dividendo per il medio noto. Nel caso della proporzione sopra, se la X fosse in posizione 3 dovremmo fare 30 per 2 e poi dividere per 3
- Se la X è nella posizione 1 o in posizione 4 (cioè è un estremo), il valore si trova moltiplicando tra loro i medi e poi dividendo per l'estremo noto. Nel caso della proporzione sopra, se la X fosse in posizione 1 dovremmo fare 20 per 3 e poi dividere per 2.
I membri di una proporzione hanno anche altri nomi, che però sono inutili ai fini di questo post.
Fin qui tutto abbastanza facile, il problema nasce quando la proporzione dobbiamo impostarla, ovvero, partendo da una serie di dati, dobbiamo ricavare una proporzione che fornisca una adeguata soluzione. Una procedura corretta è quella che vedrete, partendo da questo problema:
5 operai costruiscono un muro di 8 metri in 6 giorni, quanti operai sono necessari per costruire lo stesso muro in metà tempo?
- Occorre vedere quali sono le grandezze che ci interessano, notiamo che nel problema variano gli operai e il tempo di costruzione, mentre la lunghezza del muro non cambia, pertanto le grandezze da usare sono il tempo e gli operai.
- Occorre mettere in tabella i dati, ogni colonna indica una grandezza, pertanto
Tempo Operai
6 5
3 X
Nella seconda riga della tabella il 3 è la metà di 6 giorni, mentre la X segna il dato da trovare.
3. Ora esaminiamo come variano le grandezze, è evidente che per metterci meno tempo bisogna avere
più operai, in questo caso si dice che le grandezze sono "inversamente proporzionali", quando succede
questo suggerisco di inserire, al centro della tabella una "U", in questo modo:
Tempo Operai
6 5
3 U X
4. A questo punto costruiamo la proporzione seguendo il verso con cui si scrive una "U", partendo
quindi dal numero 6 proseguiamo col numero 3, poi con la X, infine col 5 (possiamo anche andare in
senso del tutto contrario, quindi scrivendo 5, X, 3 e 6), la proporzione quindi sarà:
6 : 3 = X : 5
Calcolando 6 per 5 diviso 3 otteniamo 10, che è la soluzione richiesta.
E se le grandezze variassero in modo identico, ovvero aumentando una aumenta anche l'altra, e viceversa (grandezze direttamente proporzionali)?
In tal caso avremmo proceduto così, sempre usando i dati del punto 2 avremmo scritto una "N" così:
3a Tempo Operai
6 5
3 N X
4a La proporzione sarebbe stata:
3 : 6 = X : 5
e la soluzione quindi sarebbe stata 2,5
Ed ora chi ha letto questo post dovrebbe essere in grado di mettersi al lavoro, almeno si spera :-)
