SCUOLA ---------------------- FORMULE ... INTERESSANTI (2)

Facendo seguito al precedente post ora è la volta delle formule inverse, che servono a risolvere problemi in cui l’interesse o il montante/valore attuale è noto.Per l’interesse si parte dalla formula:

             C r t                                      I simboli usati significano:

 1) I = --------                                     I = interesse

            n 100                                    C = Capitale iniziale

                                                          r = tasso percentuale

                                                          t = tempo

                                                          n = numero di periodi di tempo in un anno

                                                          M = Montante

                                                          V = Valore attuale

 Per ottenere le formule inverse si usano le regole delle equazioni, quindi quando un simbolo viene spostato da destra a sinistra dell’equazione il suo segno diventa opposto, ciò che si moltiplica poi si divide e viceversa, ciò che si aggiunge poi si sottrae e viceversa. 

 Spostando da destra a sinistra tutti i simboli eccetto il simbolo C avremo la formula che risolve il capitale iniziale.

                                                                           I n 100

                                                                      2) ---------- = C

                                                                               r t

 Con lo o stesso metodo potremo ricavare le formule rispetto a t e rispetto a r:

            I n 100                                                                                          I n 100

       3) ---------- = t                                                                            4) = ----------  = r

                C r                                                                                               C t

Per quanto riguarda il montante si parte dalla formula:

                                                                                           r t 

                                                              5) M = C ( 1 + --------- )

                                                                                        n 100

Con le stesse regole usate per la formula 1 e le successive si ottiene facilmente la formula che risolve il Capitale iniziale, basta portare tutto il gruppo tra parentesi sotto il simbolo del montante:

                                                                           M 

                                                              6) --------------------  =  C

                                                                                  r t

                                                                   ( 1 + ---------- )                                                                                                                                   n 100  

Per risolvere rispetto a r e rispetto a t occorre invece procedere per gradi, sempre partendo dalla 5 si deve spostare solo un simbolo alla volta cambiando il segno dell'operazione, per esempio rispetto a r avremo:

                                                                      M              n 100

                                                            7)  (  ---- - 1 )   ----------  = r

                                                                      C                  t

rispetto a t avremo una formula assai simile:

                                                                      M              n 100

                                                            8)  (  ---- - 1 )   ----------  = t

                                                                      C                 r

Le formule del Valore attuale partono dalla 5, solo che al posto di '1 +' avremo '1 -' e di conseguenza, nelle formule inverse, al posto  del gruppo

      M                                       V
 (  ---- - 1 )   ci sarà  ( 1 -   ----- ), per esempio, risolvendo rispetto a t avremo:
       C                                     C

                                                                            V        n 100

                                                            9)  ( 1 -   ---- )   ----------  = t

                                                                             C            r
Ecco un esempio di applicazione delle formule che ho esposto:

determinare il tempo in mesi necessario a far si che un capitale di € 2500 produca un Montante di € 3000 con un tasso del 4%.

Dovendo risolvere rispetto al tempo bisogna usare la formula 8 e quindi si ottiene:

                                                                     3000          12 100

                                                            8)  (  ------ - 1 )   ----------  = t

                                                                      2500             4

da cui si ottiene un tempo di 60 mesi, cioè 5 anni. 

SCUOLA ---------------------- FORMULE ... INTERESSANTI

Visualizzazione grafica del capitale C,
dell'interesse I e del montante M
in funzione del tempo

In questo post tratterò delle formule dell'interesse e del montante dirette, in regime di interesse semplice, seguirà un altro post con le formule inverse, sempre con lo stesso regime.

Innanzitutto sarà opportuno capire perché esiste il bisogno di calcolare questo interesse, e perché è così importante nella nostra vita di ogni giorno.

Bisogna dire che l'interesse non è stato sempre e dovunque utilizzato, per tutto il medioevo venne persino proibito ovunque ed ancora oggi è ufficialmente proibito nei Paesi dove è in vigore la Sharia, ovvero la legge islamica, come fonte del diritto.

Tuttavia un banale ragionamento basta a capire che tale divieto non è razionale, basta infatti chiedere a chiunque: "Preferisci avere 100 euro oggi o 100 euro domani?", la risposta ovviamente sarà quasi sempre la stessa: "Oggi". Questa risposta nasce dal fatto che avere prima i soldi consente di metterli prima a frutto, dall'acquisto di oggetti di cui si ha bisogno fino all'investimento di ogni genere, prima si hanno i soldi e più si potrà guadagnare e/o soddisfare un bisogno. Insomma il tempo da un valore differente alla stessa somma data in momenti diversi. dato che la valutazione di un capitale non è sempre la stessa per le varie persone la consuetudine ha portato a calcolare che il valore di un capitale varia in ragione diretta del tempo, definendo I come l'aumento di valore di un capitale, ovvero l'interesse, C come il capitale iniziale e t con il tempo, avremo in prima, molto grossolana, approssimazione che 

(1) I = C x t.

Ma oltre al tempo occorre considerare la velocità con cui il valore aumenta col tempo, ci sono periodi in cui il capitale è abbondante, è facile trovarlo quando si vuole, quindi il suo valore aumenta poco col tempo, in altri momenti ci sono pochi soldi in giro, meglio prenderli prima possibile, quindi il loro valore aumenta molto più velocemente, tenendo conto di questo si utilizza la cosiddetta ragione percentuale, ovvero r/100 e la formula (1) diventa

(2) I =  C x t x r

           100

Infine occorre considerare che il tempo può essere calcolato in anni, mesi, giorni, persino settimane, come tenere conto di questo?

Il termine r della formula (2) si riferisce ad un anno, se il tempo usato è diverso dall'anno allora occorre stabilire quanti periodi di quel tipo ci sono in un anno e quindi la formula diventa

(3) I =  C x t x r 

           n x 100

dove n diventa, per esempio 12 per se si contano i mesi, 360 per i giorni con l'anno commerciale, 365 

per l'anno civile ordinario e 366 per quello bisestile, per le settimane diventa 52 (circa), se il tempo si conta in anni resta 1, lascio al lettore calcolare n se il tempo si calcola in ore o secoli :-).

Tenendo conto che nell'uso matematico normale si è soliti omettere il segno x, che ovviamente significa che se vediamo due simboli accostati essi devono essere moltiplicati, scriviamo la stessa formula così:

(3) I =   Ctr  

              n100

Ovviamente chi presta soldi si aspetta quindi di avere oltre al capitale anche l'interesse, la somma di capitale e interessi si chiama montante (in sigla si indica con M, quindi:

(4) M = C + I

Sostituendo ad I la formula (3) e individuando C come fattore comune avremo:

                         tr

(5)  M = C(1 +  ------- )

                           n 100

 Questa formula è un po' diversa da quella nota su vari libri scolastici, ma è equivalente, inoltre rende più facile trovare le formule inverse, come vedremo in un prossimo post.

Ultima annotazione, ovviamente se una persona paga un prestito prima della scadenza ha diritto ad essere ricompensata con una riduzione della somma pattuita in origine, perché il creditore ottiene un vantaggio ad avere prima i soldi, la formula da usare è di base la (5) però bisogna tener conto che stavolta l'interesse è negativo (sconto) ed il risultato ci dà il valore di un capitale in un momento precedente la scadenza (valore attuale), quindi avremo:

                      tr

(6)  V = C(1 -  ------- )

                        n 100

Ho evidenziato in rosso le differenze rispetto alla formula precedente.

RETROCOMPUTING ---- RESTAURO DI UNA SCATOLA (2) I GUSCI DI POLISTIROLO

Nel precedente post su questo stesso argomento mi sono soffermato sul recupero della parte in cartone di una scatola, essendo i gusci di polistirolo intatti. Invito alla lettura di quel post anche per ricordare quando vale la pena fare questo lavoro e quali materiali usare.
In questo caso accade il contrario del caso precedente, la scatola è quasi integra, i gusci in polistirolo sono in condizioni critiche. L'oggetto in questione è la scatola con gusci annessi di una NES, nell'allestimento "Action set".

La scatola, come si vede ha solo dei margini
 slabbrati, non manca nulla

L'altra faccia della scatola

i gusci sono in condizioni disastrose,
con parti mancanti

Sulla faccia esterna segni di pennarello e di
 qualche tipo di spray che ha corroso il polistirolo

Il lavoro sulla scatola si è limitato a chiudere qualche strappo e rimettere a posto i bordi, in particolare sulla parte visibile in figura. Per la chiusura degli strappi ho usato un pezzo di carta bagnato nella colla che ho inserito tra i bordi degli strappi, a questi ultimi ho creato con un cutter il posto dove inserire la carta, poi ho richiuso e pressato, facendo attenzione a far combaciare bene i bordi.

La parte di scatola con le riparazioni maggiori

 Sono stato anche aiutato dal fatto che la scatola è coperta da una patina in plastica che ha preservato i colori ed ha consentito di eliminare il nastro adesivo presente senza problemi, con l'aiuto di un phon.

Il lavoro al polistirolo è stato invece più lungo e complesso, dopo la pulizia iniziale ho cominciato col reincollare le parti già in mio possesso, rettificando con il cutter i bordi delle parti rotte. 

Guscio inferiore, tagli per facilitare
 l'inserimento delle toppe

Prime fasi di lavorazione, reincollaggio parti
 presenti  e primi tagli per l'inserimento delle toppe

Il lavoro al guscio superiore è stato abbastanza ordinario, mancavano solo alcune parti del bordo esterno, le tracce di pennarello sono state eliminate con alcool, sono rimaste solo poche tracce particolarmente ostinate, che in seguito coprirò con un po' di tempera.

Guscio superiore terminato,
 notare la forma del vano per
facilitare l'estrazione dalla 
scatola

Il lavoro al guscio inferiore ha riguardato i buchi scavati da qualche tipo di spray, anche qui si è provveduto a rettificare i buchi, quelli meno profondi sono stati regolati tramite un saldatore adattato a tagliapolistiroli.

Nella foto a fianco si vede il lavoro completato che ha riguardato ben otto buchi di cui tre profondi. Il lavoro è servito anche a dare un pò di solidità al guscio.
Nella parte bassa della foto si nota che la scatola non aveva una forma regolare, su internet e osservando i bordi residui ho notato che era stato creato un vano per facilitare l'estrazione della console dalla scatola.

Guscio superiore, una fase della
 ricostruzione  della parte mancante

Ho proceduto per gradi, prima ho ricostruito il bordo esterno, che doveva essere anche una parte portante per il resto delle toppe. Successivamente ho inserito i bordi interni e il fondo.
Qui sotto si vede il risultato finale.

Guscio superiore finito, veduta dell'interno,
l'esterno è  visibile in un foto precedente

Guscio inferiore finito, parte interna

Guscio inferiore finito, parte esterna.

RETROCOMPUTING --- IL COMMODORE 64 SILVER LABEL, CRITERI DI AUTENTICAZIONE

Il Commodore 64 "silver label" è esattamente quello fotografato sulle scatole di tutti i C64 modello "biscottone" (versioni A,B,G) , si badi bene alle etichette "Commodore" e "64" color argento

Da qualche mese sto cercando di trovare la prima versione di un C64, la cosiddetta "Silver label", la prima versione di questo computer che ancora adesso compare sul Guinnes dei primati come il computer più venduto di tutti i tempi. Ho notato che il prezzo è alto, a causa dell'importanza storica e della rarità del modello, questo fa pensare che potrebbero esserci dei "falsi", cioè dei normali c64 versione "arcobaleno" magari funzionanti ma venduti cari solo perché hanno magari solo le etichette della versione più vecchia. 

In effetti ogni tanto c'è su ebay qualche annuncio dove si vendono appunto le sole etichette dei C64, di solito i modelli "arcobaleno" ma in passato ho visto anche quelle del modello più ricercato.

Quali sono i criteri per ritenere autentico un "Silver label"? 

Sul sito http://c64preservation.com/ (a proposito, le versioni silver sono due!) è possibile farsi un'idea sulla base dei numeri seriali e della scheda madre, vi sono anche altri siti che parlano delle varie versioni del C64, come http://www.c-64.org/ oppure wikipedia (soprattutto le pagine in lingua inglese).

Sulla base delle informazioni che ho mi sono fatto un'idea che qui espongo, a beneficio di tutti i collezionisti (e anche per evitare qualche frode).  Indicherò per ogni componente del computer quali sono i punti che meglio dovrebbero favorire una corretta identificazione.

Tastiera: sia tasti funzione arancione che grigi, altri tasti neri, sono escluse quelle con tasti bianchi.o con tasti funzione con i due valori entrambi sulla faccia superiore. 

Case: in genere venne usata la versione "alta", (40 x 20,9 x 7,6) leggermente più grande (e rara) della versione classica (40 x 20,6 x 7), comunque la forma è sempre quella del biscottone. Da notare che un semiguscio "alto" non combacia bene con uno "basso" a causa dei diversi giunti e cerniere sul retro e della diversa  largezza. 

Da notare che i ganci dietro ai case "alti" sono divisi in tre coppie, mentre i case "bassi" hanno tre ganci posteriori più grandi.

Scheda madre: la assy 326298 (usata per lo standard video NTSC)  è sicura, anche la KU14194HB (sistema PAL) e la 250407 versione A (PAL/NTSC), per la 250407 versione B direi che ancora sono compatibili, nel senso che mi risultano anch'esse in qualche caso montate anche nel silver, soprattutto con seriali bassi, quindi vale quanto specificato in nota (2). Le versioni successive sono talvolta presenti nei silver, ma credo che si tratti di C64 a cui hanno cambiato la scheda originale a seguito di un ricondizionamento. (vedi nota 1)

Una scheda KU14194HB

una scheda assy 326298, da notare il chip video
ceramico subito sotto il modulatore RF

CPU ed altri chip: direi che quelli ceramici sono abbastanza sicuri, ma gli altri possono essere compatibili a condizione che abbiano il codice originario (6510 e non p. es. 8500 per la cpu, ecc.). L'epoca di produzione, spesso indicata sul chip con un codice a 4 cifre, sotto il codice del chip, composto da due cifre per il n. della settimana e due per l'anno, deve essere il tra xx82 e nn83 dove nn non dovrebbe superare il 12. Se hanno codici successivi vuol dire che sono stati cambiati, non si tratta necessariamente di una frode, ma probabilmente di normale manutenzione, in particolare se il computer ha un seriale basso. Il chip video più sicuro è quello ceramico.

il gruppo 1 indica la settimana, il gruppo 2 l'anno

Numeri seriali: L'unico sito che mi da una qualche informazione in proposito è http://c64preservation.com/, comunque si tratta di valori approssimativi a causa del limitato numero di oggetti catalogati, li indico a seconda delle sigle del luogo di produzione, tenete presente che per i casi dubbi ho utilizzato quanto specificato nella nota (2)

Una tipica targa con numero seriale, posta sul guscio inferiore del case.

• C (Canada) direi tutti, gli esemplari con etichetta arcobaleno sono probabilmente esemplari ricondizionati e poi rivenduti come nuovi, dato che si trovano dei silver con seriale superiore a questi;
• CA (USA e West Germany): nessuno;
• DA4 e DA5 (West Germany) direi nessuno, nel sito ce n'è uno, ma è incoerente con la tastiera ed il seriale è molto alto;
• HB (Hong Kong): nessuno

• P (West Chester, California, USA), si tratta dello stabilimento principale della Commodore, qui ne è stata prodotta credo la maggior parte, ma l'unico silver sicuro ha un seriale P00309037, tra questo e P5016624B, primo di una successione abbastanza continua di seriali con schede madri superiori, c'è un lungo intervallo per il quale non posso dire nulla di certo, c'è una gran mescolanza di schede madri di tipo diverso. posso solo dire che l'ultimo seriale con una scheda 250407 rev a è P2625448 (nota 2), comunque più è basso il seriale maggiore è la possibilità che sia di un silver;
• RP (West Chester, ricondizionati) difficile dire qualcosa di sicuro, comunque, basandomi sulla nota (1) senz'altro i seriali molto bassi sono probabilmente ex silver, tuttavia non basta rimettere l'etichetta silver a questi esemplari, occorrerebbe anche cambiare la targhetta mettendone una con un seriale tipo P  appropriato, ma questo rende tutta l'operazione un pò troppo aleatoria. Ovviamente in questi modelli spesso si trovano chip successivi al 1983 rendendo ancora più incerta una affermazione di autenticità.

• S (Santa Clara, California, USA) sicuri fino a 28922, sicuramente esclusi quelli oltre 230182, in base alla nota (2) potrebbero essere silver ricondizionati quelli fino al seriale 208405, ultimo seriale con scheda 250407 rev b, appena dopo alcuni con schede di modello 32629 rev a, possibile quindi rietichettarli, ma attenti a controllare le date dei chip.

• SC (Canada) quasi certamente nessuno, in lista ce n'è solo uno ma è un modello che di solito ha seriali molto bassi, mentre qui ha un seriale successivo a molti modello arcobaleno, forse è un silver fabbricato altrove a cui per qualche motivo ignoto è stato cambiato il seriale.

• UKB (Gran Bretagna) sicuri fino a 256243, da 1858106 sono sicuramente esclusi, in mezzo computer con vari tipi di schede, l'ultimo seriale con 250407 rev A è proprio 1858106 che ha alcuni chip di tipo insolito, anche qui posso solo dire che più basso è il seriale e meglio è.

• WGA (West Germany) sicuri fino a 17635, sicuramente esclusi a partire da 32514, il seriale 4887 appartiene senz'altro ad un silver ricondizionato, in mezzo non ci sono altri modelli su cui dire qualcosa.

• WGB (West Germany) sicuri fino a 36734, sicuramente esclusi da 57891, tuttavia si notano molti seriali bassi con etichetta arcobaleno, quelli con seriale inferiore a 40000 direi che sono probabili silver ricondizionati.

• WGC (West Germany) sicuri fino a 21265, probabilmente esclusi da 109547, sicuramente esclusi da 127899, in mezzo c'è molta incertezza, comunque, tenendo presente  le schede madri, direi che con molta probabilità i seriali fino a 45056 siano di silver o ex silver ricondizionati, quelli con seriale superiore sono con molta probabilità non silver.

Infine riepilogo alcune note metodologiche:

1. ho saputo, non ricordo dove, che la Commodore, quando ritirava un C64 silver in garanzia lo rimarchiava con etichetta arcobaleno, magari cambiando anche il case, per questo ho visto diverse schede madri con seriali bassi nelle versioni arcobaleno, quindi un c64 con case e altro di un "silver" ma etichetta arcobaleno potrebbe essere stato effettivamente un silver, quindi è legittimo rimettergli una etichetta silver, purchè originale. L'unica condizione è che sia solo necessario il cambio di etichetta, il resto deve essere compatibile con le caratteristiche di un silver.
2. in base a quanto detto a proposito delle schede madri considero silver anche i computer che hanno schede 250407 rev b con un case che ha un seriale inferiore a quello di silver sicuri.
3. Se avete voglia di fare un commento o richiesta di chiarimento fate pure, vis risponderò, ma dovrete avere pazienza, circa 10-20 giorni.

Quanto scritto non deve essere considerato impegnativo o definitivo ai fini della dichiarazione di autenticità o genuinità di un computer, sono ben accetti commenti, precisazioni e conferme. 

SCUOLA ---------------------- PIU' O MENO DI 100

Risultati percentuali relativi alla
 distribuzione dell'acqua sulla Terra

Come promesso mi occuperò in questo post dei calcoli sopra e sotto 100, questi calcoli vengono spesso usati in ambito fiscale e economico.

Innanzitutto parto dalla proporzione di base delle percentuali:

100 : r = S : P

dove r è la percentuale, S è la somma su cui si applica la percentuale e P è il risultato (normalmente) di questo calcolo, detto anche Percento.

Applicando un regola (quella del comporre) relativa alle proporzioni otteniamo questa:

(1) 100 : (100 +/- r) = S : (S +/- P)

+/- significa più in caso di sopra cento/meno in caso di sotto cento.

In genere si usa il calcolo sopra cento se una grandezza osservata aumenta o è aumentata, sotto cento nel caso opposto di diminuzione della grandezza.

A differenza delle percentuali, dove di solito l'incognita è P, capita più spesso in questo caso che l'incognita sia S, ovvero si vuol sapere che valore aveva la grandezza prima della variazione (sopra/sotto cento inverso).

Nel caso l'incognita sia 100 +/- r invece si vuol sapere la percentuale di variazione, mentre nel caso di S +/- P si vuol sapere la grandezza già variata.

Facciamo un esempio riferito a S

Il prezzo di un oggetto comprensivo di IVA al 22% è di € 152,50, si vuol sapere il prezzo prima dell'aggiunta dell'IVA (ovvero si vuol sapere l'imponibile), la percentuale sarà:

100 : 122 = x : 152,50

dove 152,50 è appunto il prezzo compresa l'IVA, 122 è il risultato di 100 più la percentuale IVA (aliquota) del 22%.

Risolvendo rispetto ad x avremo  152,50 x 100 = 125,00

                                                         122  

E' possibile anche usare questa formula per conoscere direttamente il percento o la percentuale, cioè:

(2) r : (100 +/- r) = P : (S +/- P)

Riprendendo l'esempio di prima, volendo conoscere il percento si avrebbe:

22 : 122 = x : 152,50

Risolvendo avremo: 152,50 x 22 =  €27,50 che corrisponde all'IVA in-                                                 122

clusa nel prezzo di 152,50 euro

SCUOLA --------------------- FIFTY FIFTY ED ALTRE PERCENTUALI

Il calcolo percentuale è usato con grande frequenza nella vita quotidiana, è bene conoscerlo nel modo migliore perché consente di evitare molte insidie nascoste nell'uso scorretto di questo calcolo.

Le percentuali vengono calcolate partendo da uno strumento matematico che ho trattato in un altro post e detto "proporzione".

In effetti la percentuale è una proporzione particolare, in quanto uno dei suoi membri, solitamente il primo, ovvero l'estremo sinistro, vale sempre 100, ecco quindi la sua forma generale:

100  :  r   =   S   :   P

r è detto anche "ragione percentuale" e significa che ogni cento unità si ottiene un risultato pari appunto a r;

S è la somma sulla quale si calcola la percentuale

P è il risultato, o "percento"

Di solito sono noti r e S, e si parla di un calcolo diretto, quando invece uno di questi due è incognito si parla di calcolo inverso.

Faccio ora un esempio diretto, voglio sapere quanto mi rende un prestito di 200 euro che dopo un certo tempo mi rende il 4% (il simbolo "%" si legge "per cento" e serve a riconoscere quale termine è r), per risolvere sostituisco alle lettere i valori corrispondenti:

100  :  4    =   200 :   x

Risolvendo secondo le regole delle proporzioni, visto che l'incognita è un estremo, ottengo:

1) x  =  200  *   4  =  8    

   100    

Significa che 200 euro al 4% mi hanno reso 8 euro.

La formula (1) può essere resa in modo più generale, perché è la formula standard per calcolare le percentuali, quindi:

2) x  =   S  *  r      

     100 

In pratica, quando si deve calcolare una percentuale conoscendo S e r basta applicare direttamente la formula 2 senza bisogno di impostare la proporzione.

I calcoli inversi si effettuano, come già detto, quando r o S sono incogniti, in tal caso, impostando la proporzione e risolvendo in base al dato incognito, possiamo ottenere uno dei seguenti casi:

incognita r  3) x  =  100  *  P 

                           S 

incognita S  4) x  =  100  *  P

                           r

Ecco un esempio: voglio sapere quale è la percentuale di maschi in una classe che contiene 13 studenti e 10 studentesse.

Innanzitutto si deve sapere quanto è numerosa la classe, sommando maschi e femmine si ottiene 23.

A questo punto conosco sia S, il totale della classe, che P, la parte che comprende i maschi, non conosco r per cui applico la formula 3 e ottengo:

5)  x  =  100  *  13  = 56,52% (importo arrotondato ai centesimi)

               23

In un prossimo post tratterò di un calcolo che deriva dalle percentuali, ovvero il calcolo sopra e sotto cento.