SCUOLA ---------------------- FORMULE ... INTERESSANTI (2)

Facendo seguito al precedente post ora è la volta delle formule inverse, che servono a risolvere problemi in cui l’interesse o il montante/valore attuale è noto.Per l’interesse si parte dalla formula:

             C r t                                      I simboli usati significano:

 1) I = --------                                     I = interesse

            n 100                                    C = Capitale iniziale

                                                          r = tasso percentuale

                                                          t = tempo

                                                          n = numero di periodi di tempo in un anno

                                                          M = Montante

                                                          V = Valore attuale

 Per ottenere le formule inverse si usano le regole delle equazioni, quindi quando un simbolo viene spostato da destra a sinistra dell’equazione il suo segno diventa opposto, ciò che si moltiplica poi si divide e viceversa, ciò che si aggiunge poi si sottrae e viceversa. 

 Spostando da destra a sinistra tutti i simboli eccetto il simbolo C avremo la formula che risolve il capitale iniziale.

                                                                           I n 100

                                                                      2) ---------- = C

                                                                               r t

 Con lo o stesso metodo potremo ricavare le formule rispetto a t e rispetto a r:

            I n 100                                                                                          I n 100

       3) ---------- = t                                                                            4) = ----------  = r

                C r                                                                                               C t

Per quanto riguarda il montante si parte dalla formula:

                                                                                           r t 

                                                              5) M = C ( 1 + --------- )

                                                                                        n 100

Con le stesse regole usate per la formula 1 e le successive si ottiene facilmente la formula che risolve il Capitale iniziale, basta portare tutto il gruppo tra parentesi sotto il simbolo del montante:

                                                                           M 

                                                              6) --------------------  =  C

                                                                                  r t

                                                                   ( 1 + ---------- )                                                                                                                                   n 100  

Per risolvere rispetto a r e rispetto a t occorre invece procedere per gradi, sempre partendo dalla 5 si deve spostare solo un simbolo alla volta cambiando il segno dell'operazione, per esempio rispetto a r avremo:

                                                                      M              n 100

                                                            7)  (  ---- - 1 )   ----------  = r

                                                                      C                  t

rispetto a t avremo una formula assai simile:

                                                                      M              n 100

                                                            8)  (  ---- - 1 )   ----------  = t

                                                                      C                 r

Le formule del Valore attuale partono dalla 5, solo che al posto di '1 +' avremo '1 -' e di conseguenza, nelle formule inverse, al posto  del gruppo

      M                                       V
 (  ---- - 1 )   ci sarà  ( 1 -   ----- ), per esempio, risolvendo rispetto a t avremo:
       C                                     C

                                                                            V        n 100

                                                            9)  ( 1 -   ---- )   ----------  = t

                                                                             C            r
Ecco un esempio di applicazione delle formule che ho esposto:

determinare il tempo in mesi necessario a far si che un capitale di € 2500 produca un Montante di € 3000 con un tasso del 4%.

Dovendo risolvere rispetto al tempo bisogna usare la formula 8 e quindi si ottiene:

                                                                     3000          12 100

                                                            8)  (  ------ - 1 )   ----------  = t

                                                                      2500             4

da cui si ottiene un tempo di 60 mesi, cioè 5 anni. 

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Visualizzazione grafica del capitale C,
dell'interesse I e del montante M
in funzione del tempo

In questo post tratterò delle formule dell'interesse e del montante dirette, in regime di interesse semplice, seguirà un altro post con le formule inverse, sempre con lo stesso regime.

Innanzitutto sarà opportuno capire perché esiste il bisogno di calcolare questo interesse, e perché è così importante nella nostra vita di ogni giorno.

Bisogna dire che l'interesse non è stato sempre e dovunque utilizzato, per tutto il medioevo venne persino proibito ovunque ed ancora oggi è ufficialmente proibito nei Paesi dove è in vigore la Sharia, ovvero la legge islamica, come fonte del diritto.

Tuttavia un banale ragionamento basta a capire che tale divieto non è razionale, basta infatti chiedere a chiunque: "Preferisci avere 100 euro oggi o 100 euro domani?", la risposta ovviamente sarà quasi sempre la stessa: "Oggi". Questa risposta nasce dal fatto che avere prima i soldi consente di metterli prima a frutto, dall'acquisto di oggetti di cui si ha bisogno fino all'investimento di ogni genere, prima si hanno i soldi e più si potrà guadagnare e/o soddisfare un bisogno. Insomma il tempo da un valore differente alla stessa somma data in momenti diversi. dato che la valutazione di un capitale non è sempre la stessa per le varie persone la consuetudine ha portato a calcolare che il valore di un capitale varia in ragione diretta del tempo, definendo I come l'aumento di valore di un capitale, ovvero l'interesse, C come il capitale iniziale e t con il tempo, avremo in prima, molto grossolana, approssimazione che 

(1) I = C x t.

Ma oltre al tempo occorre considerare la velocità con cui il valore aumenta col tempo, ci sono periodi in cui il capitale è abbondante, è facile trovarlo quando si vuole, quindi il suo valore aumenta poco col tempo, in altri momenti ci sono pochi soldi in giro, meglio prenderli prima possibile, quindi il loro valore aumenta molto più velocemente, tenendo conto di questo si utilizza la cosiddetta ragione percentuale, ovvero r/100 e la formula (1) diventa

(2) I =  C x t x r

           100

Infine occorre considerare che il tempo può essere calcolato in anni, mesi, giorni, persino settimane, come tenere conto di questo?

Il termine r della formula (2) si riferisce ad un anno, se il tempo usato è diverso dall'anno allora occorre stabilire quanti periodi di quel tipo ci sono in un anno e quindi la formula diventa

(3) I =  C x t x r 

           n x 100

dove n diventa, per esempio 12 per se si contano i mesi, 360 per i giorni con l'anno commerciale, 365 

per l'anno civile ordinario e 366 per quello bisestile, per le settimane diventa 52 (circa), se il tempo si conta in anni resta 1, lascio al lettore calcolare n se il tempo si calcola in ore o secoli :-).

Tenendo conto che nell'uso matematico normale si è soliti omettere il segno x, che ovviamente significa che se vediamo due simboli accostati essi devono essere moltiplicati, scriviamo la stessa formula così:

(3) I =   Ctr  

              n100

Ovviamente chi presta soldi si aspetta quindi di avere oltre al capitale anche l'interesse, la somma di capitale e interessi si chiama montante (in sigla si indica con M, quindi:

(4) M = C + I

Sostituendo ad I la formula (3) e individuando C come fattore comune avremo:

                         tr

(5)  M = C(1 +  ------- )

                           n 100

 Questa formula è un po' diversa da quella nota su vari libri scolastici, ma è equivalente, inoltre rende più facile trovare le formule inverse, come vedremo in un prossimo post.

Ultima annotazione, ovviamente se una persona paga un prestito prima della scadenza ha diritto ad essere ricompensata con una riduzione della somma pattuita in origine, perché il creditore ottiene un vantaggio ad avere prima i soldi, la formula da usare è di base la (5) però bisogna tener conto che stavolta l'interesse è negativo (sconto) ed il risultato ci dà il valore di un capitale in un momento precedente la scadenza (valore attuale), quindi avremo:

                      tr

(6)  V = C(1 -  ------- )

                        n 100

Ho evidenziato in rosso le differenze rispetto alla formula precedente.